Вывод передаточной функции

Рассмотрим пример вывода передаточной функции выпарного аппарата по каналу $F_{II} - L_{II}$ (расход упаренного раствора из выпарного аппарата II - уровень в выпарном аппарате II).

В аппарат входит поток упариваемого раствора $F_I$, выходит поток упареного раствора с расходом $F_{II}$ и поток пара к конденсатору $F_p$. Также поступает поток тепла от рубашки, в которой конденсируется пар, отходящий от выпарного аппарата I. Теплопотерями пренебрегаем, свойства раствора (плотность, теплоёмкость и т.д.) считаем постоянными, изменением коэффициента теплопередачи пренебрегаем. S - площадь внутреннего сечения выпарного аппарата II.

В данном случае передаточную функцию можно вывести из материального баланса по раствору в целом:

$F_I \rho - F_{II} \rho - F_p \rho=\frac{\partial (L_{II} S \rho)}{\partial t}$

$F_I \rho - F_{II} \rho - F_p \rho=\frac{d (L_{II} S \rho)}{d t} = \phi$

В стационарном режиме $\phi=\frac{d (L_{II} S \rho)}{d t} =0$

Малое отклонение от стационарного режима: $\Delta \phi=\frac{d (\Delta L_{II} S \rho)}{d t}$

Разложим $\Delta \phi$ в ряд Тейлора с удержанием членов первого порядка малости:

$\Delta \phi \approx \frac{\partial (\phi)}{\partial F_{II}} \Delta F_{II} + \frac{\partial (\phi)}{\partial L_{II}} \Delta L_{II}$

Отсюда получаем: $\frac{\partial (\phi)}{\partial F_{II}} \Delta F_{II} + \frac{\partial (\phi)}{\partial L_{II}} \Delta L_{II} = \frac{d (\Delta L_{II} S\rho)}{d t}$

Подставим значения производных:

$- \rho \Delta F_{II} = \frac{d (\Delta L_{II} S \rho)}{d t}$

$- \Delta F_{II} (t) = \frac{d (\Delta L_{II} (t) S)}{d t}$

Преобразуем по Лапласу:

$- \Delta F_{II} (p) = p S \Delta L_{II} (p)$

Так как по определению искомая передаточная функция равна $W(p)= \frac {\Delta L_{II} (p)}{ \Delta F_{II} (p)}$, то получим $W(p)= \frac {\Delta L_{II} (p)}{ \Delta F_{II} (p)} = \frac{1}{S p}$

Обозначим S=T, получим:

$W(p)= \frac{1}{T p}$.

Таким образом, полученная передаточная функция является передаточной функцией интегрирующего звена.