Wiki Буханцова

Шаблон:Тестируйте ниже Модель хищник-жертва Лотки — Вольтерры — система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая динамику биологических систем, в которых взаимодействуют два вида: хищник и жертва. Модель была независимо предложена Альфредом Лоткой в 1925 году и Вито Вольтеррой в 1926 году. Она является фундаментальной в математической экологии и теории динамических систем.

TOC

Математическая модель

Классическая модель состоит из двух уравнений, связывающих численность жертв ($x(t)$) и хищников ($y(t)$): $\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy, \\ \dfrac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y, \end{cases}$ где:

• $\alpha$ — коэффициент естественного прироста жертв в отсутствие хищников,
• $\beta$ — коэффициент смертности жертв из-за хищников,
• $\delta$ — коэффициент прироста хищников за счёт потребления жертв,
• $\gamma$ — коэффициент естественной смертности хищников.

Система имеет две стационарные (неподвижные) точки: 1. Тривиальная: $(0, 0)$ (оба вида вымирают). 2. Нетривиальная: $(x^*, y^*) = \left( \dfrac{\gamma}{\delta}, \dfrac{\alpha}{\beta} \right)$.

Поведение системы в окрестности нетривиальной точки описывается замкнутыми траекториями (циклами), что соответствует циклическим колебаниям численности обоих видов.

Пример численного решения на Python

Ниже приведён код для численного интегрирования уравнений с помощью метода Рунге—Кутты и визуализации фазового портрета. <syntaxhighlight lang="python"> import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import solve_ivp

1. Параметры модели: alpha, beta, delta, gamma

params = (1.0, 0.1, 0.075, 0.5)

1. Система дифференциальных уравнений

def lotka_volterra(t, z, alpha, beta, delta, gamma):

   x, y = z
   dxdt = alpha * x - beta * x * y
   dydt = delta * x * y - gamma * y
   return [dxdt, dydt]

1. Начальные условия и время интегрирования

t_span = (0, 100) t_eval = np.linspace(*t_span, 1000) initial_conditions = [40, 9] # Начальная численность жертв и хищников

1. Решение системы

solution = solve_ivp(lotka_volterra, t_span, initial_conditions,

                    args=params, t_eval=t_eval, method='RK45')

x, y = solution.y

1. Построение графиков

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))

1. Динамика численности во времени

ax1.plot(solution.t, x, label='Жертвы (x)', color='blue') ax1.plot(solution.t, y, label='Хищники (y)', color='red') ax1.set_xlabel('Время') ax1.set_ylabel('Численность') ax1.set_title('Динамика популяций') ax1.legend() ax1.grid(True)

1. Фазовый портрет

ax2.plot(x, y, color='green') ax2.set_xlabel('Численность жертв (x)') ax2.set_ylabel('Численность хищников (y)') ax2.set_title('Фазовый портрет системы') ax2.grid(True)

plt.tight_layout() plt.show() </syntaxhighlight>

Химическая аналогия: автокаталитическая реакция

Колебания в системе «хищник-жертва» имеют аналоги в химической кинетике, например, в автокаталитических реакциях, таких как реакция Белоусова—Жаботинского. Упрощённо такой процесс можно представить как цепь превращений, где вещество A (жертва) превращается в катализатор B (хищник), который, в свою очередь, расходуется:

<chem>A + 2B -> 3B</chem> (автокаталитическая стадия) <chem>B -> C</chem> (стадия гибели/дезактивации)

Подобные нелинейные взаимодействия приводят к наблюдаемым колебаниям концентраций реагентов, что с математической точки зрения роднит их с моделью Лотки—Вольтерры.

Примечания

Шаблон:Примечания <ref name="Lotka1925">Шаблон:Статья</ref> <ref name="Volterra1926">Шаблон:Статья</ref> <ref name="Murray2002">Шаблон:Книга</ref>

См. также

• Динамическая система
• Теория бифуркаций
• Уравнение реакции-диффузии
• Хаотическая динамика

Литература

• Шаблон:Книга