Вывод передаточной функции
Dz (обсуждение | вклад) |
Dz (обсуждение | вклад) |
||
(не показаны 18 промежуточных версий 1 участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
Рассмотрим пример вывода передаточной функции выпарного аппарата по каналу <math>F_{II} - L_{II}</math> (расход упаренного раствора из выпарного аппарата II - уровень в выпарном аппарате II). | Рассмотрим пример вывода передаточной функции выпарного аппарата по каналу <math>F_{II} - L_{II}</math> (расход упаренного раствора из выпарного аппарата II - уровень в выпарном аппарате II). | ||
− | В аппарат входит поток упариваемого раствора <math>F_I</math>, выходит поток упареного раствора с расходом <math>F_{II}</math> и поток пара к конденсатору <math>F_p</math>. Также поступает поток тепла от рубашки, в которой конденсируется пар, отходящий от выпарного аппарата I. Теплопотерями пренебрегаем, свойства раствора (плотность, теплоёмкость и т.д.) считаем постоянными, изменением коэффициента теплопередачи пренебрегаем. | + | В аппарат входит поток упариваемого раствора <math>F_I</math>, выходит поток упареного раствора с расходом <math>F_{II}</math> и поток пара к конденсатору <math>F_p</math>. Также поступает поток тепла от рубашки, в которой конденсируется пар, отходящий от выпарного аппарата I. Теплопотерями пренебрегаем, свойства раствора (плотность, теплоёмкость и т.д.) считаем постоянными, изменением коэффициента теплопередачи пренебрегаем. S - площадь внутреннего сечения выпарного аппарата II. |
В данном случае передаточную функцию можно вывести из материального баланса по раствору в целом: | В данном случае передаточную функцию можно вывести из материального баланса по раствору в целом: | ||
− | <math>F_I \rho - F_{II} \rho - F_p \rho=\frac{\partial (L_{II} \rho)}{\partial t}</math> | + | <math>F_I \rho - F_{II} \rho - F_p \rho=\frac{\partial (L_{II} S \rho)}{\partial t}</math> |
− | <math>F_I \rho - F_{II} \rho - F_p \rho=\frac{d (L_{II} \rho)}{d t}</math>=\phi | + | <math>F_I \rho - F_{II} \rho - F_p \rho=\frac{d (L_{II} S \rho)}{d t} = \phi</math> |
+ | |||
+ | В стационарном режиме <math>\phi=\frac{d (L_{II} S \rho)}{d t} =0 </math> | ||
+ | |||
+ | Малое отклонение от стационарного режима: | ||
+ | <math>\Delta \phi=\frac{d (\Delta L_{II} S \rho)}{d t} </math> | ||
+ | |||
+ | Разложим <math>\Delta \phi</math> в ряд Тейлора с удержанием членов первого порядка малости: | ||
+ | |||
+ | <math>\Delta \phi \approx \frac{\partial (\phi)}{\partial F_{II}} \Delta F_{II} + \frac{\partial (\phi)}{\partial L_{II}} \Delta L_{II}</math> | ||
+ | |||
+ | Отсюда получаем: | ||
+ | <math> \frac{\partial (\phi)}{\partial F_{II}} \Delta F_{II} + \frac{\partial (\phi)}{\partial L_{II}} \Delta L_{II} = \frac{d (\Delta L_{II} S\rho)}{d t}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Подставим значения производных: | ||
+ | |||
+ | <math> - \rho \Delta F_{II} = \frac{d (\Delta L_{II} S \rho)}{d t}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math> - \Delta F_{II} (t) = \frac{d (\Delta L_{II} (t) S)}{d t}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Преобразуем по Лапласу: | ||
+ | |||
+ | <math> - \Delta F_{II} (p) = p S \Delta L_{II} (p)</math> | ||
+ | |||
+ | Так как по определению искомая передаточная функция равна <math> W(p)= \frac {\Delta L_{II} (p)}{ \Delta F_{II} (p)}</math>, то получим | ||
+ | <math> W(p)= \frac {\Delta L_{II} (p)}{ \Delta F_{II} (p)} = \frac{1}{S p}</math> | ||
+ | |||
+ | Обозначим S=T, получим: | ||
+ | |||
+ | <math> W(p)= \frac{1}{T p}</math>. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, полученная передаточная функция является передаточной функцией интегрирующего звена. |
Текущая версия на 01:03, 25 мая 2016
Рассмотрим пример вывода передаточной функции выпарного аппарата по каналу (расход упаренного раствора из выпарного аппарата II - уровень в выпарном аппарате II).
В аппарат входит поток упариваемого раствора , выходит поток упареного раствора с расходом и поток пара к конденсатору . Также поступает поток тепла от рубашки, в которой конденсируется пар, отходящий от выпарного аппарата I. Теплопотерями пренебрегаем, свойства раствора (плотность, теплоёмкость и т.д.) считаем постоянными, изменением коэффициента теплопередачи пренебрегаем. S - площадь внутреннего сечения выпарного аппарата II.
В данном случае передаточную функцию можно вывести из материального баланса по раствору в целом:
В стационарном режиме
Малое отклонение от стационарного режима:
Разложим в ряд Тейлора с удержанием членов первого порядка малости:
Отсюда получаем:
Подставим значения производных:
Преобразуем по Лапласу:
Так как по определению искомая передаточная функция равна , то получим
Обозначим S=T, получим:
.
Таким образом, полученная передаточная функция является передаточной функцией интегрирующего звена.